아인슈타인의 가설

 20세기에 들어오면서 마이컬슨-몰리 실험은 맥스웰 방정식에서의 우선 관성계를 찾자는 생각을 잠재웠지만 역학 법칙에서는 유효한 갈릴레이 변환이 맥스웰 방정식에 대해서는 맞지 않았다. 이 궁지가 물리학의 전환점이 되었다. 마이컬슨이 에테르의 존재를 알아내기 위한 실험에서 아무 것도 관측하지 못했다고 발표했을 때 아인슈타인은 2세였다. 아인슈타인은 16세에 관성계를 움직일 때의 맥스웰 방정식의 형태를 생각하기 시작했다고 말했으며, 26세이던 1905년에 상대성 원리에 대한 놀라운 제안을 발표했다. 그는 이 상대성 원리가 근본적인 것이라고 믿었다. 몇몇 친구 외의 다른 학자들과는 토론을 하지 않는 환경에서 연구했기 때문에 아인슈타인은 마이컬슨-몰리 실험에서 아무 것도 관측되지 않은 것에 대한 사람들의 관심을 알지 못한 것으로 보인다. 그 대신 아인슈타인은 형식적인 면에서 문제를 바라보고 맥스웰의 방정식이 모든 관성계에서 성립해야 한다고 믿었다. 꿰뚫는 통찰력과 천재성으로 아인슈타인은 두 개의 가설(아인슈타인은 가설이라고 불렀지만 지금은 법칙으로 부른다)을 세워 역학과 전자기학의 법칙에서 모순으로 보이는 결과를 조화롭게 하는데 성공했다. 구 가설은 다음과 같다.

1. 상대성 원리 : 물리학의 법칙은 모든 관성계에서 같다. 절대 운동을 관측하는 방법은 없고 우선 관성계는 존재하지 않는다.

2. 광속의 불변성 : 모든 관성계의 고나찰자에게 진공 중에서의 빛의 속도는 같은 값이다.

 첫째 가설은 물리학 법칙이 서로 일정한 상대 속도로 움직이는 모든 좌표계에서 같다는 것을 나타낸다. 아인슈타인은 둘째 가설이 실제로는 첫째 가설로부터 나온다는 것을 보였다. 아인슈타인은 뉴턴이 채택한 상대성 원리로 돌아갔는데, 뉴턴의 원리는 역학 법칙에만 적용되었지만 아인슈타인은 그것을 전자기 법칙을 포함한 모든 물리학 법칙을 포함하도록 확장했다. 이제 앞에서 정의했던 관성기준틀을 모든 물리 법칙이 성립하는 기준틀로 수정할 수 있다.

 아인슈타인의 해법을 따르자면 시간에대해 자세히 살펴봐야 한다.K계와 K'계에서 t=t'이라고 가정했었다. 그리고 일어나는 모든 사건이 쉽게 동시화 될 수 있다고 가정했다. 아인슈타인은 각 계에는 자기 자신의 시계와 자를 가진 관찰자가 있어야 한다는 것을 깨달았다. 어떤 계에서의 사건은 공간과 시간 좌표를 모두 말해서 기술해야 한다. K계에 고정된 두 전구의 번쩍임을 생각하면 전구가 번쩍일 때 움직이는 계인 K'계에 있는 메리가 고정된 계인 K계에 있는 프랭크 옆에 있다. K계에서는 두 빛 펄스가 같은 거리를 움직이므로 프랭크에게 동시에 도달한다. 즉 프랭크는 두 전구가 동시에 번쩍거리는 것을 본다. 하지만 K'계가 오른쪽으로 움직이므로 섬광이 메리에게 도달하는 시간에 메리는 오른쪽 전구에 가깝게 움직였기 때문에 두 빛 펄스는 메리에게 동시에 도달하지 않는다. 왼쪽에서 오는 왼쪽 섬광이 메리에게 나중에 도달할 것이다. 메리는 자기의 계에서 정지해 있고 양쪽 빛은 c의 속력으로 접근해 오므로 메리는 오른쪽 빛이 왼뽁 빛보다 먼저 번쩍했다고 판단한다. 그러면 다음과 같은 결론을 얻는다.

 하나의 기준틀(K)에서 동시에 일어난 두 사건은 이 기준틀에 대해서 움직이고 있는 다른 기준틀(K')에서 받느시 동시에 일어나지는 않는다.

 우리는 상대적으로 움직이는 두 계의 같은 사건을 비교할 때 주의해야 한다. 한 관찰자로부터 다른 관찰자로 빛 신호를 보내 시간을 비교할 수 있지만 이 정보는 유한한 빛의 속도로만 전달될 수 있다. 각 계에 동시화된 시계를 가진 관찰자가 있으면 가장 좋은데 어덯게 그렇게 만들 수는 없다. 주어진 계에 여러 곳에 시계를 가진 관찰자들을 놓는데 이들이 한 자리에 모였을 때 시계가 일치하면 이 시계들은 동시화(synchronized) 되었다고 한다. 그렇지만 이 시계들의 위치를 바꿀 때 시계는 서로 상대적으로 움직여야 하고 이 움직임은 동시화에 영향을 미칠지도 모른다. 정지한 두 시계 쌍마다 중간에서 전구를 번쩍거리게 해서 펄스가 두 시계에 동시에 도달하도록 하는 것이 더 좋은 방법이다. 이렇게 하려면 많은 것을 측정해야 하지만 시계를 동시화하는 안전한 방법이다. 멀리 떨어진 곳에서 일어난 사건의 시간을 알려면 그 사건이 일어난 위치에 정지한 시계를 가진 동료에게 그 사건이 일어난 시간을 재서 전화나 우편으로 그 결과를 보내달라고 하면 된다. 내 시계와 동료 시계가 맞는지 확인하려면 거리를 아는 상태에서 미리 정한 시간에 서로 빛 신호를 보내면 된다.

 쌍둥이 패러독스

상대론에서 화제 중의 하나가 쌍둥이 패러독스이다. 아인슈타인의 유명한 논문이 1905년에 발표되었을 때부터 내내 이 화제는 많은 주목을 받았고 여러 버전이 존재한다. 이 패러독스를 요약하면 다음과 같다.

 쌍둥이인 메리와 프랭크는 다른 진로를 택해 메리(움직이는 쌍둥이)는 우주 비행사가 되고 프랭크(고정된 쌍둥이)는 증권 중개인이 되었다. 30세에 메리는 지구로부터 8광년 떨어진 별을 공부하기 위해 우주선을 타고 출발해 매우 빠른 속도로 날아서 별에 도착한 뒤 살아서 돌아온다. 프랭크가 특수 상대론을 이해한 바에 의하면 생체 시계는 프랭크의 시계보다 천천히 가고 메리가 돌아올 때는 자기보다 젋다고 주장한다. 비슷한 논의로 메리도 자기에 대해 빠른 속도로 움직이는 것은 프랭크이므로 메리가 돌아왔을 때는 프랭크가 더 젊을 것이라고 주장한다. 그런데 여기에서 이 패러독스를 더욱 복잡하게 하는 것은 메리와 프랭크가 둘 다 옳을 수는 없으며 대칭성에 의해 쌍둥이는 여전히 같은 나이일 것이라고 주장할 수도 있다는 것이다. 

 이 중 바른 답은 메리가 더 젊은 쌍둥이로 여행에서 돌아온다는 것이다. 프랭크에 따르면 메리의 우주선은 지구에서 출발해 곧  비행 속도 0.8c에 도달한다. 메리는 별까지 8광년을 여행하고 속도를 낮춰 빨리 돈 다음 같은 속도로 지구로 돌아온다. 가속(양의 가속과 음의 가속)하는 시간은 지구와 별 사이의 총여행 시간에 비하면 무시할 수 있다. 프랭크에 따르면 메리가 별까지 여행하는 시간은 10년이고 돌아오는 시간도 10년이어서 총 여행 시간이 20년이므로 메리가 돌아올 때 프랭크의 나이는 30+20=50세이다. 하짐나 메리의 시계는 천천히 가므로 별까지 가는데 걸리는 시간은 단지 6년이다. 프랭크는 자신의 정지한 시계에 대해 메리가 돌아올 때 메리의 나이는 30+12=42세라고 계산한다.

 여기에서 중요한 사실은 프랭크의 시계는 여행 내내 하나의 관성계에 있지만 메리의 시계는 그렇지 않다는 것이다. 메리가 일정한 속도로 프랭크로부터 멀어질때는 둘 다 상대편이 나이를 덜 먹는다는 데 동의한다. 그러나 메리가 돌기 위해 속도를 낮출 때 메리는 처음 관성계를 더나게 된고 결국 돌아올 때는 완전히 다른 관성계에 있게 된다. 메리는 같은 관성계에 있지 않으므로 프랭크가 더 젊다는 메리의 주장은 타당하지 않다. 누가 관성계에 있는지에 고나해서도 의심의 여지가 없다. 메리의 여행 내내 프랭크는 가속을 느끼지 못하지만 메리는 방향을 바꿀 때 가속을 분명히 느끼게 되는데 자동차가 멈추고 있으면 발에 힘을 주어야 하므로 가속을 느끼는 것과 마찬가지다.

 메리가 여행을 시작할 때의 가속과 끝낼 때의 감속은 거의 문제가 되지 않는다. 둘 다 메리가 프랭크 옆을 스쳐 지나간다고 하면 고정된 시계와 움직이는 시계를 비교할 수 있기 때문이다. 메리가 별에서 가속을 한다는 것이 핵심이다. 특수 상대론의 두 가설을 떠올린다면 패러독스는 없다. 메리의 시계의 순간 변화율은 메리의 순간 속력에 의해 결정되지만, 메리는 그녀가 방향을 바꿀 때의 가속 효과를 고려해야만 한다. 가속을 포함해 특수 상대론으로 메리의 여행 전체를 분석하면 메리가 더  젊다는 프랭크의 계산과 일치한다.